NBA 赛程难度评价的数学模型：创新方法与科学方案

关键词：层次分析法、相对公平指数、0-1规划、Lingo问题的重述对于NBA这样的大型赛事来说，编制一个对每支球队都尽可能公平的完整赛程是一件非常复杂的事情，而且赛程的安排对球队的实力和战绩有一定的影响，经常会看到球员的抱怨或评论， 教练和媒体关于媒体的赛程。这个课题主要要求利用数学建模的方法对现有赛程进行定量分析和评估：为了分析一个团队赛程的优劣，你认为需要考虑哪些因素，根据这些因素，将赛程转换成数学数值格式，并给出量化指标来评估赛程的优劣。2、根据1）的结果，计算分析姚明加盟的火箭队赛程的利弊，找出30支球队最有利和最不利的球队。符号说明：判断矩阵代表标准层到目标层，判断矩阵代表赛季第一场比赛和第一场比赛之间的休息天数，判断矩阵代表时间间隔指数，判断矩阵代表将数据量化成0-1分布的结果，判断矩阵代表背靠背指数的判断矩阵，判断矩阵代表连续客场指数的判断矩阵。判断矩阵表示连续强队指数的判断矩阵该判断矩阵表示各球队的综合权重，即相对公平指数排名表示各赛区的0-1分布3。4.赛程分布矩阵表示各部门胜率的差异，权重矩阵表示一致性指数，一致性指数表示随机性，一致性指数表示一致性比率，指数表示最大特征值，标准层的权重表示标准层对目标层的权重， 时间间隔指数表示标准层，指数对目标层的权重，标准层背靠背指数的权重，连续离开指数对目标层的权重，连续离开指数对目标层的权重，标准层连续强队指数的权重， 指数对目标层的权重，方案层对目标层的组合权重，即相对公平性指数A1、A2,......A5 表示总排名前 5 的球队：B1、B2,......B5表示6-10支球队的总排名：C1、C2,......C5表示11-15支球队的总排名：D1、D2,......D5 表示总共 16-20 支球队 E1、E2,......E5表示21-25支球队，F1，F2的整体排名,......F5 代表总积分榜中的 26-30 支球队，该模型假设 L1 假设两支球队以历史方式交锋记录。

L2 假设一天中的特定时间对游戏影响不大，可以忽略不计。L3 假设明星效应和周末因素对比赛的影响非常小且可以忽略不计。L4 假设一些不可控因素会影响赛程，例如主要球员受伤。L5 当一支球队连续遭遇客场比赛时，假设连续两场比赛的索引为 1，如果连续进行三场比赛，则为 2，依此类推。L6假设NBA联赛中的球队背靠背主客场比赛是正常的，不算作对球队的不利因素，所以我们只考虑一支球队遭遇连续客场比赛时连续客场比赛的不公平性。问题分析NBA常规赛赛程一直吸引着篮球迷的目光，人们总是希望自己喜欢的球队能够按照合理的赛程进行安排。但是，无论赛程安排得多么仔细，总会有对一些球队相对不公平的地方。那么，我们如何分析和评估NBA的官方赛程，以了解每支球队的公平性如何呢？这就是这个问题的目的。针对这个问题，结合实际情况，我们做了如下分析： 4.1 问题1 4.1.1 影响因素分析： 4.1.1.1 时间间隔分析： 一般情况下，球员只要在比赛后休息1天以上，基本上可以恢复体力nba球队排名的主场和客场是什么意思，并且为了简单起见， 所有大于或等于 1 天的时间间隔都归类为 1，而 0 保持不变。易于构建新的 81 行、30 列时间间隔矩阵。将矩阵的列相加得到一个行向量，其中 1 行中有 30 列元素。

不难看出，行向量的元素代表了对应团队获得的其余指数，很明显，值越高nba球队排名的主场和客场是什么意思，团队越好（由于我们考虑的其他三个因素的指数值与公平性成反比，因此在计算中从82中减去所得的指数nba球队排名的主场和客场是什么意思， 从而颠倒了区间指数的含义）。例如，凯尔特人队的时间间隔指数最初是66，高于大多数球队，说明赛程对它来说是公平的，现在从时间间隔指数的满分82中减去66，得到16，反转了原来的含义。当某些球队得到相同的值时，可以通过分析其赛程中连续非休息日和连续客场比赛的方法来确定，详见表3。4.1.1.2 背靠背分析：由于在现实中，对背靠背的理解各不相同，所以我们取背靠背的广义，即连续两天或两天以上比赛的情况。例如，如果一支球队连续遭遇20场比赛和连续2天的比赛，其背靠背指数是通过数据处理得出的每支球队背靠背指数的汇总表，详见表3。4.1.1.3 连续客场分析：由于在NBA比赛中，每支球队在常规赛中主客场的场次是相等的，且连续主场比赛交叉主客场比赛是正常现象，不应算作对球队不利，所以我们只考虑球队遭遇连续客场比赛的不公平性。所以，你不妨定义一下：连续客场分析指数，当一支球队遭遇连续的客场比赛时，连续两场客场比赛的索引为1，连续三场客场比赛的索引为2，依此类推。

然后将每支球队的各种连续情况的出现次数乘以其相应的指标标准，并将结果相加（例如，如果一支球队连续遭遇2场客场比赛5次，连续3场客场比赛2次，连续4场客场比赛1次，连续5场客场比赛1次，连续6场客场比赛1次， 则其连续客场指数为），使每支球队的连续客场指数为31，每支球队的详情如表3所示。4.1.1.4 连续强队分析：30支球队根据战绩分为6个级别，分别以A、B、C、D、E、F表示（使各级球队的内实力基本相等）;各级别五支球队分别代表A1、A2、A3、A4、A5、B1、B2、B3、B4、B5、C1、C2、C3、C4、C5、D1、D2、D3、D4、D5、E1、E2、E3、E4、E5、F1、F2、F3、F4、F5，如表1所示： 表1 球队代码分配代码 球队胜率代码 球队胜率代码 球队胜率A1 凯尔特人 80.50% D1 猛龙 50% A2 活塞 72% D276 48.80% A3 湖人 69.50% D3 国王 46.30%A4黄蜂 68.30% D4 老鹰 45.10% A5 马刺 68. 30% D5 步行者 43.90% B1 火箭 67.10% E1 篮网 41.50% B2 太阳 67.10% E2 公牛 40.20% B3 爵士 65.90% E3 山猫 39% B4 魔术 63.40% E4 雄鹿 31.70% B5 小牛 62.20% E5 快船 28% C1 掘金 61% F1 尼克斯 28% C2 勇士 58.50% F2 灰熊 26.80% C3 骑士 54.90% F3 森林狼 26.80% C4 奇才 52.40% F4 超音速（雷霆） 24.40% C5 开拓者 50% F5 热火 18.30% 我们定义：当C级球队连续遇到B级和C级对手时，从第二支球队开始，每支B级球队加1分，每支C级球队加2分。很容易

得到一组连续的强队因素对每支球队的公平性影响指数。因此，以下五种解释是在没有证据的情况下给出的：当一个C级团队连续遇到同级别的团队时，竞争最为激烈，其他级别都是类似的。当一支C级球队连续遇到一支更高的球队时，有获胜的希望，但强度小于1）。当一支C级球队连续遇到低于自己水平的球队时，比赛的强度低于1）、2）和两种情况，忽略不计。当一支C级战队连续遇到比自己高两个以上的战队时，比赛的激烈度低于1）、2）、两种情况，这些情况都会被忽略。以上四点说法符合总体情况。那么，就很容易推导出每个团队的持续强队指数，如表3所示。4.1.2 评价指标分析在4.1.1中，给出了时间间隔指标、背靠背指标、连续客场指数和持续强队指数，这些指标都可以作为衡量球队赛程公平性的指标。为了便于对赛程进行系统分析，采用层次分析法，引入相对公平性指数为目标层，引入时间间隔指数、背靠背指数、连续客场指数和持续强队指数为准则层，以30支球队为程序层，图1如下： 赛程安排的优缺点，持续强队指数，连续客场指数，背靠背指数，时间间隔指数................................................在目标层面，在指南层面，在项目层面，很明显，每个团队的日程安排的利弊都可以通过相对公平性指数来衡量。

4.2 问题 2在4.1中，我们引入了相对公平指数的概念，该指数结合了考虑的四个因素：区间指数、背靠背指数、连续客场指数和连续强队指数。在这里，我们可以在层次分析过程中，根据特征根法确定准则层因子的权重，然后根据权重计算相对公平性指数，对30支球队进行排名。模型建立与解决 5.1 问题一：NBA赛程的安排涉及对手的时间、地点、实力等诸多因素。在对问题1的分析中，我们给出了四个准则层因素的量化方法和准则，这些因素是通过软件计算得出的（详见附件1），30支球队的量化结果如表3所示： 表3 标准层因素 详细指标代号名称 球队间隔指数 背靠背指数 连续客场指数 连续强队指数 AA1 凯尔特人 活塞湖人 黄蜂 马刺 火箭 太阳 爵士 魔术 小牛 掘金 勇士骑士 奇才 开拓者 国王 老鹰 步行者 篮网 山猫 雄鹿 快船 尼克斯 灰熊 森林狼 超音速 （雷霆）热火.1.1 标准层对目标层的权重： 5.1.1.1 权重计算： 根据假设2，将准则层的四个因素依次排列，对决策目标的影响程度也按顺序排列，判断矩阵构造如下： 这是一个四阶正互逆矩阵，计算出的特征值（详见附件2）为： 对应的归一化特征向量为： 5.1.1.2 一致性检验：一致性指标 一致性指数 随机一致性指数 一致性指数 一致性比指数 满足要求，因此可以作为标准层对目标层的权重。

5.1.2 方案层对准则层的权重： 5.1.2.1 时间间隔： 5.1.2.1.1 计算权重：构造30阶正互逆判断矩阵，计算出的最大特征值（附件2）为： 对应的归一化特征向量为：5.1.2.1.2一致性检验：一致性指数 随机一致性指数的一致性指数的一致性指数满足要求， 因此可以作为标准层的时间间隔索引到目标层的权重。5.1.2.2 背靠背： 5.1.2.2.1 计算权重：构造30阶正互易判断矩阵，计算最大特征值（见附件2）：对应的归一化特征向量为5.1.2.2.2一致性检验：一致性指标一致性指标随机一致性指标共识比指数满足要求，因此可作为标准层背靠背指数到目标层的权重。5.1.2.3 连续客场： 5.1.2.3.1 计算权重： 构造一个30阶正互易判断矩阵，计算出的最大特征值（详见附件2）为： 对应的归一化特征向量为5.1.2.3.2一致性检验： 一致性指数 一致性指数 一致性指数 因此，它可以用作标准层对目标层的连续离开指数的权重。5.1.2.4 持续强团队： 5.1.2.4.1 计算权重： 构造30阶正互易判断矩阵，计算的最大特征值（附件2）为：对应的归一化特征向量为： 5.1.2.3.2 一致性检验： 一致性指标 随机一致性指数 一致性指数 一致性指数 随机一致性指数 一致性比指数满足要求，因此可以作为准则层对目标的连续强团队指数的权重层。

5.2 问题 2 通过对问题 1 的计算，可以得到四个准则层因子的最大特征值及其对应的特征向量，现在确定了方案层到目标层的组合权重，具体如下： 组合一致性比指标满足： 显然，组合权重可以作为决策目标的依据。这样可以得到赛程优劣的相对公平指数，即组合权重排名如下： 从上面可以看出，姚明加盟的火箭队的相对公平指数为0.，排名第17位，处于中等略低的水平， 说明赛程对火箭队的影响在所有球队中处于中间位置。然而，也有一些缺点，比如时间间隔和背靠背的客场比赛，火箭队相对处于劣势。据分析，本次赛程最有利的球队是活塞（0.）、凯尔特人（0.）等相对强势的球队;最弱势的球队是魔术队（0.）、山猫队（0.）、雄鹿队（0.）和其他球队。其中，魔术就是因为连续客场指数太高（高达58），这也是赛程安排

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